Six Sigma

Discrete random variables (cont.):

a)      A random variable that takes only integer values is discrete. Also,  every  simple  random  variable  is  discrete,  since  it  takes  a  finite  number  of  values.  However, more complicated discrete random variables are also possible.

b)      Let  the  sample  space  be  the  set  N of  natural  numbers,  and  consider  a  measure  that  satisfies  P(n) = 1/2

c)       n, for every n ∈N.  The random variable X defined by X (n) = n is discrete.

d)      Suppose  now  that  the  rational  numbers  have  been  arranged in  a  sequence,  and  that  xn is  the  nth  rational  number, according to this  sequence. Consider the random variable Y defined by Y (n) = xn.  The  range  of  this  random  variable  is  countable,  so  Y is a  discrete  random  variable.  Its  range  is  the  set  of  rational  numbers,  every  rational  number has  positive  probability,  and the  set  of  irrational  numbers  has  zero  probability.  We  close  by  noting  that  discrete  random  variables  can  be  represented  in  terms  of  indicator  functions.  Indeed,  given  a  discrete  random  variable  X,  with  range  {x1, x2, . . .},