SKEDSOFT

Six Sigma

The  law of a  random variable: “For a random variable X, the event {ω | X(ω) ≤ c} is  often  written  as  {X ≤ c},  and is  sometimes just  called “the event that  X ≤ c.” The  probability of this event  is  well  defined,  since  this  event  belongs  to  F.  Let  now  B be  a  more  general

subset  of  the  real  line.  We  use  the  notation  X−1(B) or  {X B} to  denote  the  set  {ω | X(ω) B}”

  • Because  the  collection  of  intervals  of  the  form  (−∞, c] generates  the  Borel  σ-field  in  R,  it  can  be  shown  that  if  X is  a  random  variable,  then  for  any  Borel  set  B,  the  set  X−1
  • (B) is  F-measurable.  It  follows  that  the  probability  P X−1
  • (B) = P({ω | X(ω) ∈B}) is  well-defined.  It  is  often  denoted  by  P(X B).
  • Sometimes,  PX is  also  called  the  distribution  of  X,  not  to  be  confused  with the  cumulative  distribution  function  defined  in  the  next  section. According  to  the  next  result,  the  law  PX of  X is  also  a  probability  measure. Notice  here  that  PX is  a  measure  on  (R, B),  as  opposed  to  the  original  measure P,  which  is  a  measure  on  (Ω, F).
  • In  many  instances,  the  original  probability space  (Ω, F, P) remains  in  the  background,  hidden  or  unused,  and  one  works directly  with  the  much  more  tangible  probability  space  (R, B, PX).  Indeed,  if we  are  only  interested  in  the  statistical  properties  of  the  random  variable  X,  the latter  space  will  do.\

Proof:  Clearly,  PX(B) ≥ 0,  for  every  Borel  set  B.  Also,  PX(R) = P(X ∈R) = P(Ω) = 1.  We  now  verify  countable  additivity.  Let  {Bi} be  a  countable sequence  of  disjoint  Borel  subsets  of  R.  Note  that  the  sets  X−1(Bi) are  also disjoint,  and  that

 Discrete  random variables:

Discrete random  variables  take  values  in  a  countable  set.  We  need  some  nota­tion.  Given  a  function  f : Ω → R,  its  range  is  the  set f(Ω) = {x ∈R | ∃ω∈Ωsuch  that  f(ω) = x}. Discrete  random  variables  and  PMFs)

(a)A random variable  X,  defined  on a  probability  space (Ω, F, P),  is  said  to  be discrete  if  its  range  X(Ω) is  countable.

(b)  If  X is  a  discrete  random  variable,  the  function  pX : R → [0, 1] defined by pX(x) = P(X = x),  for  every  x,  is  called  the  (probability)  mass  function of  X,  or  PMF  for  short. Consider  a  discrete  random  variable  X whose  range  is  a  finite  set  C.  In  that case,  for  any Borel  set  A,  countable  additivity  yields