SKEDSOFT

Introduction: Loosely  speaking a random variable  provides  us  with a numerical value,  depend­ing  on  the  outcome  of  an  experiment.  More  precisely,  a  random  variable  can  be viewed  as a  function  from  the  sample  space  to  the  real  numbers,  and  we  will  use the  notation  X(ω) to  denote  the  numerical  value  of  a  random  variable  X,  when the  outcome of the experiment is  some  particular  ω.

Continuous  random variables:

The  definition  of  a  continuous  random  variable  is  more  subtle.  It  is  not  enough  for  a  random  variable  to  have  a  “continuous  range.”

There  is  some  ambiguity  in  the  above  definition,  because  the  meaning  of  the  integral  of  a  measurable  function  may  be  unclear. For  now,  we  just  note  that  the  integral  is  well-defined,  and  agrees  with  the  Riemann  integral  encountered  in  calculus,  if  the  function  is  continuous,  or  more  generally,  if  it  has  a  finite  number  of  discontinuities.

• Any non-negative measurable function that satisfies Eq.  is called a density function.  Conversely, given a density  function  f, we  can  define F(x) =xf(t) dt, −∞ and  verify  that  F is  a  distribution  function.  It  follows  that  given  a  density  function,  there  always  exists  a  random  variable  whose  PDF  is  the  given  density.
• If a  CDF  FX is  differentiable  at  some  x,  the  corresponding  value  f_X(x) can  be  found  by  taking  the  derivative  of  FX at  that  point.  However,  CDFs  need  not  be  differentiable,  so  this  will  not  always  work.  Let  us  also  note  that  a  PDF  of  a  continuous  random  variable  is  not  uniquely  defined.  We  can  always  change the  PDF  at  a  finite  set  of  points,  without  affecting  its  integral,  hence  multiple PDFs  can  be  associated  to  the  same  CDF.  However, this nonuniqueness rarely becomes an issue.  In  the  sequel,  we  will  often  refer  to  “the  PDF”  of  X,  ignoring the fact  that it is  nonunique.