SKEDSOFT

σ-FIELD (cont.): Mathematically,  we  will  require  this  collection  to  be  a  σ-field,  a  term  that  we  define  next.

        The term “event” is to be understood as follows.  Once  the  experiment  is  concluded,  the  realized  outcome  ω either  belongs  to  A,  in  which  case  we  say  that  the  event  A has  occurred,  or  it  doesn’t,  in  which  case  we  say  that  the  event  did  not  occur.

Exercise:

(a)  Let F be an σ-field.  Prove that if A, B ∈F, then A∩B ∈F.  More  generally, given  a  count ably  infinite  sequence  of  events  Ai ∈F,  prove  that  ∩∞i=1Ai ∈F.

(b)  Prove  that  property  (a)  of  σ-fields  (that  is,  Ø  ∈F) can  be  derived  from  properties

(b)  and (c), assuming that the σ-field F is non-empty.  The following are some examples of σ-fields

Proposition 1:

Let  S be  an  index set  (possibly  infinite,  or even  uncountable),  and  suppose  that  for  every  s we  have  a  σ-field  Fs of  subsets  of  the  same  sample  space.  Let  F = ∩s∈SFs,  i.e.,  a  set  A belongs  to  F if  and  only  if  A ∈Fs for every  s ∈S.  Then F is an σ-field.

Proof:

        We need to verify that F has the three required properties.  Since  each  Fs is  a  σ-field,  we  have  Ø  ∈Fs,  for  every  s,  which  implies  that  Ø  ∈F. To establish the second property, suppose that A ∈F.  Then, a ∈Fs, for every s.

       Since  each  s is  a  σ-field,  we  have  Ac ∈Fs,  for  every  s.  Therefore, Ac ∈F, as desired.  Finally,  to  establish  the  third  property,  consider  a  sequence  {Ai} of  elements  of  F.  In particular, for a given s ∈S, every set Ai belongs to Fs.  Since  Fs is  a  σ-field,  it  follows  that  ∪∞.  Since this is true for every s ∈S, i=1

        Ai ∈Fs it follows that ∪∞i=1 Ai ∈Fs.  This verifies  the  third  property  and  establishes  that  F is  indeed  a  σ-field.

        Suppose  now  that  we  start  with  a  collection  C of  subsets  of  Ω,  which  is  not  necessarily  a  σ-field.  However,  for  technical  reasons,  we  may  wish  the  σ-field  to  contain  no  more  sets  than  necessary.  This

        leads  us  to  define  F as  the  intersection  of  all  σ-fields  that  contain  C.  Note  that  if  H is  any other  σ-field  that  contains  C,  then  F ⊂H.  (This  is  because  F was  defined  as  the  intersection  of  various  σ-fields,  one  of  which  is  H.)  In this sense, F is the smallest σ-field containing C.  The  σ-field  F constructed  in  this manner  is  called  the  σ-field  generated  by  C,  and  is  often  denoted  by  σ(C).

Example.  Let Ω = [0, 1].  The  smallest  σ-field  that  includes every  interval  [a, b] ⊂[0, 1] is  hard to describe explicitly (it  nincludesfairly  complicated sets), but is still  well-defined,  by  the  above  discussion.  It  is  called  the  Borel  σ-field,  and  is  denoted  by  B.  A  set  A ⊂[0, 1] that  belongs  to  this  σ-field  is  called  a  Borel  set.